Quadratische Gleichungen grafisch lösen

Quadratische Gleichungen grafisch lösen

In einer quadratischen Gleichung kommt die Variable in der zweiten Potenz und nicht höher vor.

Beispiele: $$x^2=3;   x^2+2x-3=0;  0,5x^2 - 3x=1,5$$

Meistens sollst du quadratische Gleichungen lösen. Du suchst Zahlen für die Variable, die die Gleichung erfüllen. Diese Zahlen heißen Lösungen. Alle Lösungen bilden die Lösungsmenge $$L$$.

Quadratische Gleichungen kannst du durch rechnerische Verfahren lösen oder durch grafische Verfahren die Lösungen näherungsweise bestimmen.

Zum grafischen Lösen bildet man aus dem quadratischen Term der Gleichung eine quadratische Funktion, dem linearen Teil eine lineare Funktion und bringt die Graphen dieser Funktionen zum Schnitt.

Wenn du quadratische Gleichungen grafisch löst, betrachtest du immer die Funktion $$x^2$$ und eine lineare Funktion.

Normalform einer quadratischen Gleichung: $$x^2+px+q=0$$
 ⇒ quadratische Funktion: $$Q(x)=x^2$$
 ⇒ lineare Funktion: $$L(x)=-px-q$$

Grafische Lösungen sind immer Näherungslösungen!

Grafisches Lösungsverfahren

Lösungsschritte zum grafischen Lösen quadratischer Gleichungen:
Beispiel:  $$0=x^2+2x-3$$

  1. Gleichung so umformen, dass auf einer Seite der lineare Teil und auf der anderen Seite der quadratische Teil steht.

    $$x^2=-2x+3$$

  2. Terme als Funktionsterme einer quadratischen und einer linearen Funktion einsetzen.

    $$Q(x)=x^2$$ und $$L(x)=-2x+3$$

  3. Graphen der quadratischen Funktion (Normalparabel) und Graph der linearen Funktion (Gerade) in einem geeigneten Koordinatensystem zeichnen.

    Quadratische Gleichungen grafisch lösen

  4. Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung.
    Lösungen:  $$x_1=-3$$  und  $$x_2=1$$
    Lösungsmenge: $$L={-3|1}$$

Die Lösungen der quadratischen Gleichungen ergeben sich aus den Schnittstellen (x-Koordinate) von $$x^2$$ und der linearen Funktion.






Es gilt: $$Q(x)=L(x)$$.

Einfache Gleichungen

Gleichungsart: $$0=x^2+q$$, $$qinRR$$

Beispiel: $$0=x^2-6,25$$

1. Umformung: $$0=x^2-6,25$$ $$|+6,25$$

$$x^2=6,25$$

2. Funktionsgleichungen: $$Q(x)=x^2$$ und $$L(x)=6,25$$

3. Graphen von Q und L zeichnen:

Quadratische Gleichungen grafisch lösen

4. Schnittstellen der Graphen

Lösungen der Gleichung: $$x_1=-2,5$$ und $$x_2=2,5$$
Lösungsmenge: $$L={-2,5|2,5}$$

Lösungsfälle

  1. $$q>0:$$  2 Lösungen
  2. $$q=0:$$  1 Lösung
  3. $$q<0: $$  keine Lösung

Graphen von $$L(x)=-q$$

Graph von $$L$$ ist eine Gerade parallel zur $$x$$-Achse im Abstand von $$|-q|$$.

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Noch ein Beispiel

Gleichungsart: $$0=x^2+px$$ mit  $$p inRR$$

Beispiel: $$0=x^2+3x$$
1. Umformung: $$0=x^2+3x$$ $$|-3x$$

$$x^2=-3x$$

2. Funktionsgleichungen: $$Q(x)=x^2$$ und $$L(x)=-3x$$

3. Graphen von Q und L zeichnen:

Quadratische Gleichungen grafisch lösen

4. Schnittstellen der Graphen

Lösungen der Gleichung: $$x_1=-3$$ und $$x_2=0$$
Lösungsmenge: $$L={-3;0}$$

Für alle $$p inRR$$ hat die Gleichung zwei Lösungen.






Die beiden Graphen schneiden sich im Koordinatenursprung.



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