Die Menge der Natürlichen Zahlen

Wenn du an Natürliche Zahlen denkst, dann kommen dir bestimmt eine ganze Reihe von unterschiedlichsten Zahlen in den Kopf, zum Beispiel

1, 3, 7, 25, 673, 2783 oder auch ganz große Zahlen wie 2.364.708 (Zweimillionendreihundertvierundsechzigtausendsiebenhundertacht)

Was haben all diese Zahlen gemeinsam?

Beispiel: $$17+12=29$$ oder $$3*17=51$$.

Beim Subtrahieren erhältst du nur dann wieder eine natürliche Zahl, wenn du eine kleinere von einer größeren Zahl abziehst, z. B.

$$ 42 - 35 = 7$$.

Du kannst den Wert einer natürliche Zahl über einen Zahlenstrahl veranschaulichen. Dabei gilt, je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer ist ihr Wert.

Von den Natürlichen Zahlen zu den Bruchzahlen

Was passiert, wenn du zwei Natürliche Zahlen dividierst?

Teilst du $$8$$ Äpfel auf $$2$$ Personen auf, erhält jeder$$8/2=4$$ Äpfel.

Möchtest du nun $$9$$ Äpfel auf $$2$$ Personen aufteilen, bekommt jeder wieder $$4$$ Äpfel, aber $$1$$ Apfel bleibt übrig.

Um gleichmäßig aufzuteilen, musst du diesen halbieren, so dass jeder $$1/2$$ Apfel dazu bekommt.

So kommst du schnell in die Welt der Bruchzahlen und erkennst:

$$ 9/2=4 1/2$$

Diese Zahl liegt zwischen zwei benachbarten Natürlichen Zahlen, nämlich zwischen der $$4$$ und der $$5$$.

Nun kann man den Zwischenraum zweier benachbarter Natürlicher Zahlen in beliebig viele Stücke aufteilen - dort liegen also unendlich viele Bruchzahlen!

Besonderheiten der Bruchzahlen

Du weißt bereits, wie sich Bruchzahlen am Zahlenstrahl darstellen lassen. Auch für die Bruchzahlen gilt: je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer ist ihr Wert.

Aber Achtung: unterschiedliche Bruchzahlen können denselben Wert haben!

Beispiel: $$1/2$$ und $$2/4$$

Die beiden Bruchzahlen liegen an exakt selben Stelle - klar, denn du könntest $$2/4$$ ja auch durch $$2$$ kürzen, und Kürzen verändert den Wert einer Zahl nicht!

Daher gibt es auch Bruchzahlen, die den Wert einer natürlichen Zahl annehmen, z.B.

$$9/3=3$$, oder $$4/4=1$$, oder $$54/27=2$$, …

Der Wert einer Bruchzahl

Um dir den Wert einer Bruchzahl zu verdeutlichen, vergleichst du am besten Zähler und Nenner:

1. Ist der Zähler kleiner als der Nenner, so ist der Wert des Bruchs kleiner als $$1$$.

2. Ist der Zähler größer als der Nenner, ist auch der Wert des Bruchs größer als $$1$$.

3. Sind Zähler und Nenner gleich, hat die Bruchzahl den Wert $$1$$.

Um den genauen Wert einer Bruchzahl zu bestimmen, kannst Du einfach schriftlich dividieren:

$$3/4=3:4=0,75$$ oder $$10/5=2$$

Du kannst Brüche auch geschickt aufteilen, um einfacher zu rechnen:

$$9/4=(8+1)/4=8/4 + 1/4 = 2+ 1/4=2,25$$

Das „Aufteilen“ hilft dir auch, die Größe einer Bruchzahl richtig abzuschätzen:

$$25/7=(21+4)/7=21/7 + 4/7=3 4/7$$

Damit weißt du, dass der Wert von $$25/7$$ zwischen 3 und 4 liegt.

Vergleich von zwei Bruchzahlen

Du kannst auch leicht ohne Rechnung entschieden, welcher von zwei Brüchen den größeren oder kleineren Wert hat.

1.Fall: Beide Brüche haben denselben Nenner

Beispiel: $$3/8$$ und $$5/8$$

Stell dir eine Pizza vor: Du teilst sie jeweils in Achtel, einer isst 3 Anteile, und der andere 5 Anteile - wer hat weniger gegessen?

So wird schnell klar, dass der Wert von $$3/8$$ kleiner ist als $$5/8$$ , und du kannst schreiben: $$3/8<5/8$$.

Der Vergleich von Brüchen

2.Fall: Beide Brüche haben denselben Zähler

Beispiel: $$5/12$$ und $$5/10$$

Stell dir wieder eine Pizza vor: Du teilst einmal in $$12$$ Stücke auf, das andere mal in $$10$$, nimmst aber jeweils $$5$$ Anteile.

Die Zwölftel sind natürlich kleiner als die Zehntel, und so wird schnell klar, dass $$5/12$$ kleiner als $$5/10$$ ist.

Auf dem Zahlenstrahl liegt $$5/12$$ also weiter links als $$5/10$$.

Der Vergleich von Brüchen

3.Fall: Weder Zähler noch Nenner sind gleich

In diesem Fall solltest du die Brüche zunächst soweit wie möglich kürzen.

Beispiel: $$5/7$$ und $$4/9$$

Möglichkeit A: Zahlenstrahl

Du kannst die Brüche wie gehabt auf dem Zahlehnstrahl eintragen und vergleichen. Aber je größer der Nenner wird oder je dichter die Werte der Brüche beisammen liegen, desto schwieriger wird dieser Weg.

Möglichkeit B: Hauptnenner finden

Durch geschicktes Kürzen oder Erweitern bringst du beide Brüche auf einen Hauptnenner und vergleichst die Zähler. Wie du schon weißt gilt: bei gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler auch größer.

Beispiel: $$5/7=45/63$$ und $$4/9=28/63$$, der erste Bruch ist also größer!

Möglichkeit C: Überschlagsrechnung

Mit dem Zähler- und Nennervergleich kannst du häufig die Größe der Bruchzahlen auch einfach schätzen:

Im Beispiel ist $$5/7$$ größer als $$3,5/7=1/2$$, und $$4/9$$ ist ein bisschen kleiner $$4,5/9=1/2$$. Der erste Bruch ist also größer als als der zweite!

Gemeinsamkeiten und Unterschiede

Du hast gesehen, dass es unendlich viele natürliche Zahlen und auch unendlich viele Bruchzahlen gibt. In beiden Zahlenräumen kannst du addieren, multiplizieren, und kleinere Zahlen von größeren Zahlen subtrahieren. Doch es gibt auch Unterschiede!

1. Jede Natürliche Zahl lässt sich als Bruchzahl schreiben

Darf gibt es viele Möglichkeiten, da du kürzen kannst, wie im Beispiel $$2=4/2=10/5=54/27$$. Umgekehrt geht dies jedoch nicht!

2. Bei der Division von Bruchzahlen erhältst du immer eine Bruchzahl

Dieses Ergebnis kannst du vielleicht sogar kürzen und eine natürliche Zahl erhalten, wie bei $$6/2=3$$. Wenn du allerdings natürliche Zahlen dividierst, „fällst“ du manchmal aus den Natürlichen Zahlen heraus und landest in den Bruchzahlen, wie z.B. bei $$6:5=6/5=1,2$$!

3. Zwischen zwei Bruchzahlen liegt immer eine weitere Bruchzahl

Egal, wie nahe zwei Bruchzahlen nebeneinander liegen: Du findest dazwischen immer noch eine Bruchzahl!
Beispiel: Nimmst Du $$5/7$$ und $$6/7$$, dann kannst du einfach den Nenner vergrößern und die Bruchzahl „zwischen“ den beiden Brüchen nehmen: $$5/7=10/14$$ und $$6/7=12/14$$, und du siehst sofort: $$11/14$$ liegt zwischen den Brüchen!
Bei Natürlichen Zahlen geht das nicht, denn jede Natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger: $$1,2,3,…42,43,…$$.