Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Negative Hochzahlen

Sehr kleine Zahlen stellst du mit Potenzen mit negativen Hochzahlen dar.

Es gilt $$1/(10^2)=10^(-2)$$.

Aber die Basis muss nicht 10 sein. Genauso kannst du schreiben:

$$1/(2^2)=2^(-2)$$

$$1/(3^2)=3^(-2)$$

$$1/(5^3)=5^(-3)$$


Steht im Zähler eines Bruchs eine 1 und im Nenner eine Potenz $$a^n$$, so kannst du diesen Bruch als Potenz mit negativer Hochzahl schreiben:
$$1/a^n=a^(-n)$$

Zur Erinnerung einige Zehnerpotenzen:

$$1000 =10^3$$
$$100 =10^2$$
$$10 =10^1$$
$$1= 10^0$$
$$0,1= 1/10=10^(-1)$$
$$0,01= 1/10^2=10^(-2)$$
$$0,001= 1/10^3=10^(-3)$$

Ein paar Besonderheiten

$$3^1=3$$

$$3^0=1$$
$$5^0=1$$
$$0,2^0=1$$

$$3^(-1)=1/3$$

$$5^(-1)=1/5$$

Sowas gibt’s auch:

$$0,2^(-1)=1/0,2=5=5^1$$

Du weißt schon:

$$10^1=10$$

$$10^0=1$$ und

$$10^(-1)=1/10$$

Von der Potenz zum Bruch

Du kannst die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Brüche umwandeln.

Beispiele:

$$3^(-3)=1/3^3=1/27$$

$$2^(-5)=1/2^5=1/(2*2*2*2*2)=1/32$$

$$2^3*3^(-2)=2^3*1/3^2=(2^3)/3^2=8/9$$

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Andersrum: Brüche in Potenzen umwandeln

Wenn im Nenner eine Potenz mit positivem Exponenten steht, kannst du den Bruch in eine Potenz übersetzen.

Beispiele:

$$1/16=1/2^4=2^(-4)$$

$$1/72=1/(8*9)=1/(2^3*3^2)=1/2^3*1/3^2=2^(-3)*3^(-2)$$

$$25/27=5^2/3^3=5^2*1/3^3=5^2*3^(-3)$$

Minuszeichen auch noch in der Basis

Auch beim Potenzieren brauchst du die Vorzeichenregeln.

Mit positiven Hochzahlen

$$(-3)^2=(-3)*(-3)=9$$

$$(-3)^3=(-3)*(-3)*(-3)=9*(-3)=-27$$

$$(-3)^4=(-3)*(-3)*(-3)*(-3)$$
$$=9*(-3)*(-3)=9*9=81$$

oder auch $$(-3)^4=(-3)^3*(-3)=(-27)*(-3)=81$$

Mit negativen Hochzahlen

$$(-3)^(-2)=1/(-3)^2=1/((-3)*(-3))=1/9$$

$$(-3)^-3=1/((-3)^3)=1/((-3)*(-3)*(-3))=1/(9*(-3))=-1/27$$

Auch für Potenzen mit negativer Hochzahl gilt:
Ist die Basis negativ, so ist die Potenz

  • bei gerader Hochzahl positiv
  • bei ungerader Hochzahl negativ.

Du weißt schon:
„Minus mal Minus ist Plus.“

Brüche als Basis

Klar, in der Basis können auch Brüche stehen.:-) Dann brauchst du die Multiplikations- und Divisionsregeln für Brüche.

Beispiele:

$$(1/2)^(-2)=1/((1/2)^2)=1/(1/2*1/2)=1/(1/4)=4$$

$$(2/3)^(-2)=1/((2/3)^2)=1/(2/3*2/3)=1/(4/9)=9/4$$

Multiplikation von Brüchen:

Regel: $$ ("Zähler mal Zähler") / (\text{Nenner mal Nenner $$

$$1/2*3/4=(1*3)/(2*4)=3/8$$

Division von Brüchen:
Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit dem Kehrbruch multiplizierst.

$$1/2:3/4=1/2*4/3=(1*4)/(2*3)=4/6=2/3$$

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