Ganze Zahlen und Zahlengerade

Neue Zahlen

Die Klasse 5a unternimmt eine Wanderung. Plötzlich sehen die Kinder dieses merkwürdige Schild:


Ganze Zahlen und Zahlengerade


Du siehst auf dem Bild eine Zahl mit einem Minuszeichen davor: $$-86$$ Meter. Diese Zahl gibt die Höhe unter dem Meeresspiegel an. Die Kinder befinden sich also 86 Meter unter dem Meeresspiegel.


Tiefkühlkost

Im Tiefkühlfach findest du oft ein Thermometer, wie es auf dem Bild zu sehen ist:


Ganze Zahlen und Zahlengerade


Du kannst auf dem Thermometer erkennen, dass Zahlen unter 0 °C mit einem Minuszeichen versehen sind.


Negative Zahlen

Zahlen mit dem Vorzeichen $$-$$ heißen negative Zahlen, solche mit dem Vorzeichen $$+$$ positive Zahlen. Du weißt, dass das Pluszeichen oft gar nicht geschrieben wird, statt z. B. $$+5$$ steht dann nur $$5$$.

Die Zahl $$0$$ trennt die positiven von den negativen Zahlen, sie ist weder positiv noch negativ.


















Die Höhe über oder unter dem Meeresspiegel wird oft auch in Fuß angegeben. Ein Fuß sind etwa 30 cm.

Neue Zahlen

Fahrstuhl


Ganze Zahlen und Zahlengerade


Paula und Jean-Luc sind im Fahrstuhl. Sie können die durch die Zahlen markierten Etagen erreichen. Die Etagen $$1, 2$$ und $$3$$ sind wohl klar. Was aber bedeuten $$0$$ und $$-1$$?
$$0$$ steht für das Erdgeschoss und $$-1$$ für den Keller. Auch hier trennt die $$0$$ die positiven Zahlen von den negativen.


Soll und Haben


Ganze Zahlen und Zahlengerade


Herr Schulz sieht auf seinen Kontoauszug - die Abbildung zeigt ihn dir. Sein neuer Kontostand ist $$-12,00$$ €. Er schuldet der Bank $$12$$ €. Schulden werden auch mit dem Begriff Soll bezeichnet und sind durch ein Minuszeichen gekennzeichnet.
Ein Guthaben nennt man Haben, es wird mit einem Pluszeichen notiert.

































Oft findest du auf Kontoauszügen die Schulden durch
rote Zahlen gekennzeichnet, Guthaben dagegen durch
schwarze Zahlen.

Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden

Hier nun noch ein recht gewöhnliches Thermometer. Die Temperaturen über $$0^ °C$$ und die $$0^ °C$$ selbst sind schwarz und die unter $$0^°C$$ sind rot markiert. Oberhalb von $$0^°C$$ sind Plusgrade und unterhalb die Minusgrade notiert.


Ganze Zahlen und Zahlengerade


Blickst du auf die Zahlen rechts von der Null, so sieht es wie ein Zahlenstrahl aus. Blickst du nach links, so wird der Zahlenstrahl zu einer Zahlengeraden, wenn du dir das Ende genauso verlängert vorstellst wie es beim Zahlenstrahl gedacht wird. So kannst du also die positiven und die negativen Zahlen wie gewohnt geometrisch darstellen.


Die Zahlengerade


Ganze Zahlen und Zahlengerade


Auf der Zahlengeraden sind links von der Null die negativen Zahlen mit einem Minuszeichen davor dargestellt. Rechts von der Null sind die positiven Zahlen dargestellt. Das Pluszeichen wird weggelassen.

Die Menge der negativen ganzen Zahlen

$${… ; -3; -2; -1}$$

bildet zusammen mit der Menge der natürlichen Zahlen $${ 1; 2; 3; …}$$ und der Zahl $$0$$ die Menge $$ZZ$$ der ganzen Zahlen:

$$ZZ = {… ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}$$.

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Anordnung von Zahlen auf der Zahlengeraden

Ein Blick auf die Zahlengerade zeigt bemerkenswerte Eigenschaften.


Ganze Zahlen und Zahlengerade


So wie in der Mengenschreibweise der ganzen Zahlen $$ZZ = {… ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}$$
alle Zahlen der Größe nach angeordnet sind, geschieht dies auch auf der Zahlengeraden.

Die Zahl $$4$$ steht links von der Zahl $$5$$. Dies drückst du aus entweder durch $$4 < 5$$ oder $$5>4$$. Diese Anordnung wird auf die negativen Zahlen übertragen: Diejenige Zahl, die links von einer zweiten Zahl steht, ist die kleinere Zahl. Diejenige Zahl, die rechts von einer zweiten Zahl steht, ist die größere der beiden Zahlen. Es gilt also z.B.$$-5 < -4$$ oder $$-4 > -5$$.

Beispiele:
$$-9 < -1;$$   $$5 > -99;$$   $$-8 < 2;$$   $$-10 < -5;$$   $$0 > -3$$

Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen.
Der Abstand einer Zahl von $$0$$ heißt Betrag dieser Zahl.

Die Zahlengerade - Fortsetzung

Es gibt einige Dinge, die du beim Zeichnen und Beschriften einer Zahlengeraden zu beachten hast:

  1. Zwischen den ganzen Zahlen müssen die Abstände gleich lang sein.
  2. Die Angabe der Zahlen muss eindeutig sein.
  3. Die Bezeichnung der Markierungen müssen zum Problem passen.


Beispiele:


Ganze Zahlen und Zahlengerade


Auf der oberen Zahlengeraden sind die Abstände zwischen den Zahlen gleich lang. Auf der unteren Zahlengeraden sind die Abstände zwischen $$-3$$ und $$0$$ nicht gleich lang. Die untere Zahlengerade ist deshalb falsch. Die Abstände müssen immer gleich lang sein.

Schau dir noch ein Beispiel an:


Ganze Zahlen und Zahlengerade


An der oberen Zahlengeraden kannst du die markierten Zahlen leicht ablesen: $$A = -3 ; B = 5$$. Im unteren Bild ist nur eine Zahl angegeben.
Wenn $$B = 0$$ ist, so folgt $$A = -8 ; C = 6$$.
Wenn $$C = 0$$ ist, so folgt $$B = -3 ; A = -7$$.

Was sagst du zu den beiden Zahlengeraden auf dem nächsten Bild?


Ganze Zahlen und Zahlengerade


Im oberen Bild kannst du nach einiger Überlegung ablesen: $$A = -7700$$.
Im unteren Bild liest du leicht ab: $$B = -3000 ; C = 9000$$.

Die Zahlengeraden sind für eine Fahrstuhlaufgabe völlig ungeeignet. Es gibt ja keinen Fahrstuhl, der 2100 Stockwerke hochfährt. Sollen jedoch in der Geografie Meerestiefen und Berghöhen angegeben werden, so wäre die obere Zahlengerade zwar möglich, die untere jedoch sehr geeignet.



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