Potenzfunktionen untersuchen

Was sind Potenzfunktionen?

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der folgenden Form:
$$f(x)=a*x^b$$.

Dabei ist $$a$$ eine beliebige reelle Zahl ungleich $$0$$.
Die Zahl $$a$$ heißt Koeffizient der Potenzfunktion.

$$b$$ ist eine beliebige natürliche Zahl ungleich $$0$$.
Die Zahl $$b$$ wird auch als Grad der Potenzfunktion bezeichnet.

Hier lernst du die Eigenschaften von Potenzfunktionen kennen.

Natürliche Zahlen $$NN$$: Das sind alle positiven ganzen Zahlen und die $$0$$.
Reelle Zahlen $$RR$$: Das sind alle dir bekannten Zahlen.

Gerader Exponent

Die Graphen stehen stellvertretend für alle Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Exponenten und positivem Koeffizienten $$a$$.

Potenzfunktionen untersuchen

Du siehst:

Alle Graphen

  • sind achsensymmetrisch zur $$y$$-Achse.
  • verlaufen durch den gemeinsamen Punkt (0|0). $$x=0$$ ist die gemeinsame Nullstelle der Graphen.
  • fallen für $$x<=0$$.
  • steigen für $$x>=0$$.

In der Mathematik werden Eigenschaften von Funktionen häufig an ihren Graphen veranschaulicht.

Ungerader Exponent

Hier sind die Graphen von Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten und positivem Koeffizienten $$a$$.
Potenzfunktionen untersuchen

Du siehst:

Alle Graphen

  • sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • verlaufen durch den gemeinsamen Punkt (0|0).
  • steigen für alle Werte von $$x$$.











Punktsymmetrisch bedeutet, dass die beiden Teile des Graphen durch eine Drehung um 180° ineinander übergehen.

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Der Koeffizient $$a$$

Welchen Einfluss hat nun das $$a$$ in $$f(x)=a*x^b$$?

In den Bildern wurde bei der Funktion $$f(x)=a*x^2$$ nur der Wert von $$a $$ variiert.

$$a$$ positiv$$a$$ negativ
Potenzfunktionen untersuchen

Du erkennst:

  • $$a$$ staucht oder streckt die Graphen in $$y$$-Richtung.
  • Für $$a<0$$ sind die Graphen an der $$x$$-Achse gespiegelt.


Wenn du das gleiche für Funktionen mit ungeradem Exponenten wiederholst, erkennst du, dass der Parameter $$a$$ hier genau so funktioniert.

$$a$$ positiv$$a$$ negativ
Potenzfunktionen untersuchen


  • $$0<a<1$$: Graph gestaucht
  • $$1<a$$: Graph gestreckt
  • $$-1<a<0$$: Graph gestaucht und an der $$x$$-Achse gespiegelt
  • $$a<-1$$: Graph gestreckt und an der $$x$$-Achse gespiegelt

Im Überblick

Was ist eine Potenzfunktion?

Funktion vom Typ $$f(x)=a*x^b;$$
$$a$$: beliebige Zahl; $$b$$: natürliche Zahl; $$a$$ und $$b$$ nicht $$0$$

Wie beeinflusst der Exponent $$b$$ die Form des Graphen?

gerader Exponent ungerader Exponent
Symmetrieachsen-
symmetrisch zur $$y$$-Achse
punktsymmetrisch (Drehung um 180°) zum Punkt (0|0)
Monotonie-
verhalten
monoton fallend für $$x<0$$,
monoton steigend für $$x>0$$*
monoton
steigend*
gemeinsame Punkte(0|0)(0|0)

*Diese Aussagen gelten jeweils für den Grundtypus, das heißt, wenn die Zahl $$a$$ positiv ist. Ist $$a$$ negativ, kehrt sich das Monotonieverhalten um.

Wie beeinflusst der Koeffizient $$a$$ die Form des Graphen?

$$a$$ staucht oder streckt die Graphen in $$y$$-Richtung.
Für negative Werte von $$a$$ wird der Grundtyp des Graphen an der $$x$$-Achse gespiegelt.

Tabellenübersicht über die Gestalt der verschiedenen Graphen


Exponent geradeExponent ungerade

Potenzfunktionen untersuchenPotenzfunktionen untersuchen





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