Teiler und Primzahlen

Teilen unter Freunden

Stell dir vor: Du hast 12 Bonbons und willst sie an deine Freunde verteilen. Du teilst natürlich gerecht, jeder soll gleich viel bekommen.


Teiler und Primzahlen


Beispiel: Wenn du 6 Freunde hast, bekommt jeder 2 Bonbons. Wie sieht das aus mit unterschiedlichen Anzahlen von Freunden?

Anzahl FreundeAnzahl Bonbons
112
26
34
43
5geht nicht
62
7geht nicht
8geht nicht
9geht nicht
10geht nicht
11geht nicht
121


Die Zahl 12 kannst du durch 1, 2, 3, 4, und 6 und 12 teilen. Das Produkt eines jeden entstandenen Zahlenpaares ergibt jeweils 12.

$$1 * 12 = 12$$

$$ 2 * 6 = 12$$

$$ 3 * 4 = 12$$

$$ 4 * 3 = 12$$

$$ 6 * 2 = 12 $$

$$12 * 1 = 12$$

Die Faktoren der Produkte ergeben die Teiler der Zahl 12.
Die Teiler sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Mathematiker nehmen diese Schreibweise: $$T_{12} = { 1; 2; 3; 4; 6; 12} $$

Ist die Zahl der Freunde größer als 12, lassen sich die Bonbons nicht mehr aufteilen.

Teiler im Bild

Bildlich kannst du dir die Teiler von 12 so vorstellen:

$$12*1$$

Teiler und Primzahlen

$$6*2 $$

Teiler und Primzahlen

$$4*3$$

Teiler und Primzahlen

$$ 3*4$$

Teiler und Primzahlen

$$ 2*6 $$

Teiler und Primzahlen

$$1*12$$

Teiler und Primzahlen

Teiler, Vielfache und Primzahlen

Also zusammengefasst: Wenn du eine Zahl durch ihre Teiler teilst, bleibt kein Rest übrig. Die Division geht auf.

Wenn du eine Zahl mit 2, mit 3, mit 4 und so weiter multiplizierst, erhältst du die Vielfachen der Zahl.

Wenn eine Zahl $$a$$ ein Vielfaches einer Zahl $$b$$ ist, dann ist die Zahl $$b$$ Teiler der Zahl $$a$$.


Teiler und Primzahlen


Primzahlen

Dann gibt es Zahlen, die genau 2 Teiler besitzen: die 1 und sich selbst.
Das sind die Zahlen 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19, …

Die Zahl 1 besitzt nur einen Teiler (1) und gehört deshalb nicht zu den Primzahlen.

Wenn du eine Zahl durch ihre Teiler teilst, bleibt kein Rest übrig.
Eine natürliche Zahl mit genau 2 Teilern heißt Primzahl.
Die 1 ist keine Primzahl.

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Selber Teiler finden

Bestimme die Teiler der 24.

Schreibe die Produkte $$\text{Teiler}$$ $$*? = 24$$ auf.

$$1 * 24 = 24$$

$$ 2 * 12 = 24$$

$$ 3 * 8 = 24$$

$$ 4 * 6 = 24$$

$$5$$??
Für die 5 kannst du keine natürliche Zahl finden, die $$5*?= 24$$ ergibt. 5 ist also keine Teiler von 24.

$$6 * 4 = 24$$

Das hast du eigentlich schon mit $$4*6 = 24$$. Wenn du jetzt weiterrechnest, werden die Faktoren nur noch vertauscht. $$8*3$$ und $$12*2$$ und so. Das heißt, du hast schon alle Teiler gefunden.

Die Teiler von 24 sind: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 und 24.
Mathematiker nehmen diese Schreibweise: $$T_24 = { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 }$$





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